Nierówności z wartością bezwzględną

 

Lekcje matematyki - szkoła średnia

Wartość bezwzględna z pewnej liczby, to nic innego, jak odległość tej liczby, na osi liczbowej, od zera.

Dla liczby 3, ta odległość wynosi 3, ale również dla liczby -3 odległość ta wynosi 3.

Tak więc mamy:   |3|=3   oraz  |-3|=3

Jeśli to rozumiesz, to możemy iść dalej 😊

Przykład 1. Rozwiąż nierówność:

|x|<5

Odległość liczby x, na osi liczbowej od zera, musi być mniejsza niż 5.   Zatem  x<5  i  x>-5.   Czyli x∈(−5;5). 

Oznacza to, że nierówność  |x|<5 będzie prawdziwa, gdy w miejsce x wstawimy dowolną liczbę z przedziału (−5;5). 

---

Przykład 2. Rozwiąż nierówność:

|x−3|<7

Podobnie jak w przykładzie 1 spełnione muszą być dwie nierówności:

x−3<7  oraz  x−3>−7

Rozwiązanie pierwszej nierówności:  x<7 +3 ⇒ x<10

Rozwiązanie drugiej nierówności:  x>−7 +3 ⇒ x>−4

Muszą być spełnione jednocześnie dwa powyższe warunki, zatem x∈(−4;10).

Oznacza to, że nierówność  |x−3|<7 będzie prawdziwa, gdy w miejsce x wstawimy dowolną liczbę z przedziału (−4;10).

---

Przykład 3. Rozwiąż nierówność:

|2x−5|≤3

W analogiczny sposób jak w przykładach 1 i 2 tworzymy dwie nierówności, które muszą być spełnione jednocześnie:

2x−5≤3  i  2x−5≥−3

Rozwiązanie pierwszej nierówności:  2x≤8 ⇒ x≤4

Rozwiązanie drugiej nierówności:  2x≥2 ⇒ x≥1

Muszą być spełnione jednocześnie dwa powyższe warunki, zatem  x∈⟨1;4⟩.

Oznacza to, że nierówność  |2x−5|≤3 będzie prawdziwa, gdy w miejsce x wstawimy dowolną liczbę z przedziału ⟨1;4⟩.

---

Przykład 4. Rozwiąż nierówność:

(|2x|−4):2≤5

Przekształcamy nierówność do postaci łatwiejszej:

(|2x|−4):2≤5 /⋅2  obie strony nierówności mnożymy przez 2

|2x|−4≤10 ⇒|2x|≤14

Rozwiązujemy ostatnią nierówność. Układamy dwie nierówności, które muszą być spełnione równocześnie:

2x≤14  i  2x≥−14

Rozwiązanie pierwszej nierówności:  2x≤14 /:2 ⇒ x≤7

Rozwiązanie drugiej nierówności:  2x≥−14 /:2 ⇒ x≥−7

Muszą być spełnione jednocześnie dwa powyższe warunki, zatem  x∈⟨−7;7⟩.

Oznacza to, że nierówność  (|2x|−4):2≤5  będzie prawdziwa, gdy w miejsce x wstawimy dowolną liczbę z przedziału ⟨-7;7⟩.

---

Przykład 5. Rozwiąż nierówność:

4−2⋅|x−4|>−10

Przekształcamy nierówność do łatwiejszej postaci:

4−2⋅|x−4|>−10 /−4   od obu stron nierówności odejmujemy liczbę 4

−2⋅|x−4|>−14   

−2⋅|x−4|>−14 /:(−2)   obie strony nierówności dzielimy przez liczbę ujemną zmieniając znak nierówności na przeciwny

|x−4|<7

Rozwiązujemy ostatnią nierówność z wartością bezwzględną. Analogicznie jak w poprzednich przykładach układamy dwie nierówności, bez wartości bezwzględnej, które muszą być spełnione równocześnie:

x−4<7  i  x−4>−7

Rozwiązanie pierwszej nierówności:  x−4<7 ⇒ x<11

Rozwiązanie drugiej nierówności: x−4>−7 ⇒ x>−3

Oznacza to, że aby była spełniona nierówność  4−2⋅|x−4|>−10  ,to  x∈(−3;11).

---

Więcej przykładów i zadań rozwiążemy wspólnie na korepetycjach z matematyki.

Zapoznaj się z moją ofertą korepetycji z matematyki – Łódź Bałuty.